Représentation paramétrique et équations cartésiennes - Spécialité

Représentation paramétrique d’une droite

Exercice 1 : Reconnaître une droite de représentation paramétrique donnée

Dans un repère orthonormé, \( d \) est la droite de représentation paramétrique : \[ \begin{cases} x = -3 + t \\ y = -1 + t \\ z = -4t \end{cases} , \text{ } t \in \mathbb{R} \]

Quel point appartient à la droite \( d \) ?

Quel vecteur est un vecteur directeur de la droite \( d \) ?

\(\left(2;1;4\right)\)
\(\left(2;2;-8\right)\)
\(\left(1;-1;4\right)\)
\(\left(\dfrac{1}{2};-1;-4\right)\)

Exercice 2 : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points \( A \left(7;-3;3\right) \) et \( B \left(3;-2;-3\right) \).

Lequel de ces systèmes d'équations paramétriques est une représentation paramétrique de la droite \( (AB) \) ?

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 -6t \\ y & = & 7 -4t \\ z & = & -3 + t \\ \end{array} \right. , \text{ } t\in\mathbb{R} \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7 -4t \\ y & = & -3 + t \\ z & = & 3 -6t \\ \end{array} \right. , \text{ } t\in\mathbb{R} \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 -6t \\ y & = & -3 + t \\ z & = & 7 -4t \\ \end{array} \right. , \text{ } t\in\mathbb{R} \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7 -4t \\ y & = & 3 -6t \\ z & = & -3 + t \\ \end{array} \right. , \text{ } t\in\mathbb{R} \)

Le point \( C \left(12;- \dfrac{8}{5};\dfrac{51}{7}\right) \) appartient-il à la droite \( (AB) \) ?

Exercice 3 : Reconnaître une droite de représentation paramétrique donnée

Dans un repère orthonormé, \( d \) est la droite de représentation paramétrique : \[ \begin{cases} x = 4 -4t \\ y = -2 -2t \\ z = 1 + 3t \end{cases} , \text{ } t \in \mathbb{R} \]

Quel point appartient à la droite \( d \) ?

Quel vecteur est un vecteur directeur de la droite \( d \) ?

\(\left(-2;2;3\right)\)
\(\left(-4;-2;3\right)\)
\(\left(-4;2;-3\right)\)
\(\left(-4;-6;-3\right)\)

Exercice 4 : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points \( A \left(-1;-2;5\right) \) et \( B \left(3;-3;3\right) \).

Lequel de ces systèmes d'équations paramétriques est une représentation paramétrique de la droite \( (AB) \) ?

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 -2t \\ y & = & -1 + 4t \\ z & = & -2 - t \\ \end{array} \right. , \text{ } t\in\mathbb{R} \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -1 + 4t \\ y & = & -2 - t \\ z & = & 5 -2t \\ \end{array} \right. , \text{ } t\in\mathbb{R} \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 -2t \\ y & = & -2 - t \\ z & = & -1 + 4t \\ \end{array} \right. , \text{ } t\in\mathbb{R} \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -1 + 4t \\ y & = & 5 -2t \\ z & = & -2 - t \\ \end{array} \right. , \text{ } t\in\mathbb{R} \)

Le point \( C \left(-3;- \dfrac{20}{7};\dfrac{45}{7}\right) \) appartient-il à la droite \( (AB) \) ?

Exercice 5 : Reconnaître une droite de représentation paramétrique donnée

Dans un repère orthonormé, \( d \) est la droite de représentation paramétrique : \[ \begin{cases} x = -6 + 6t \\ y = -1 -6t \\ z = t \end{cases} , \text{ } t \in \mathbb{R} \]

Quel point appartient à la droite \( d \) ?

Quel vecteur est un vecteur directeur de la droite \( d \) ?

\(\left(6;-18;-1\right)\)
\(\left(12;-6;-1\right)\)
\(\left(3;-3;\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\left(6;6;-1\right)\)

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